Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а≠0) является х = (у-b)/a, О. ф. для у = е^х является х = ln у и т.д. Если х = φ(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть О. ф. по отношению к х = φ(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.- область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = φ (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х-b)/a, у = е^х и у = ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х² и ). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал - π/2< x < π/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения φ[f (x)]=x и f [φ(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе - для всех значений х из области определения функции φ (x); например, e^lnx = х (х > 0), 1n (e^x) = х (- ∞ < х < ∞). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f^{- -1}(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

F ^-1[f (x)]=f [f ^-1) x)]=x.

Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (≠ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: -х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f^{- -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (-1) ⁿ x + nπ,

n = 0, ± 1, ± 2,....

Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x₀ и дифференцируема при х = x₀, причём f'(x₀) ≠ 0, то f ^--1(y) дифференцируема при у = у₀ и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для -π/2 < х < π/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f'(x) = cos х ≠ 0 и f^{- -1}(y)= arc sin у (-1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для -π/2 < х < π/2).